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Densité spectrale de bruit (NSD) : une nouvelle métrique pour les convertisseurs analogique/numérique ?

29/01/2018 09h28, par Analog Devices

Densité spectrale de bruit (NSD) : une nouvelle métrique pour les convertisseurs analogique/numérique ?

Au cours des décennies écoulées, la principale métrique utilisée pour évaluer les performances de convertisseurs analogique/numérique (CA/N) à haut débit d’échantillonnage a évolué — quoique lentement — en raison de l’augmentation constante et insatiable des exigences en bande passante des systèmes d’acquisition de signaux. La façon dont la performance de ces convertisseurs est mesurée a également changé.

Dans les années 1980, l’évaluation des convertisseurs analogique/numérique reposait en grande partie sur leurs spécifications en courant continu, à savoir la non-linéarité différentielle (DNL — Differential Non-Linearity) ou intégrale (INL — Integral Non-Linearity). Au cours de la décennie suivante, nous avons surtout jugé les convertisseurs analogique/numérique sur la base de leur rapport signal/bruit (SNR — Signal-to-Noise Ratio). Si la plage dynamique sans interférence (SFDR — Spurious Free Dynamic Range) constitue un paramètre tout aussi important, la densité spectrale de bruit (NSD — Noise Spectral Density) représente une spécification complète que l’on peut utiliser pour définir les performances des convertisseurs analogique/numérique actuels à haut débit dont la fréquence d’échantillonnage est de l’ordre du gigaéchantillons par seconde (Géch/s).

Quoiqu’employé de longue date pour définir le niveau de bruit émis par un convertisseur, le concept de densité spectrale de bruit est un paramètre nouveau pour nombre de concepteurs de systèmes en tant que spécification principale d’un nouveau convertisseur analogique/numérique haut débit. Ce concept est même totalement étranger à certains ingénieurs qui, au moment de choisir un convertisseur analogique/numérique haut débit, se concentrent sur d’autres spécifications. Voici quelques réponses aux questions que se posent certains ingénieurs et qui montrent pourquoi ils seraient bien avisés de s’intéresser de plus près à cette métrique.

« J’ai déjà vu la spécification NSD sur la fiche technique d’un convertisseur analogique/numérique fonctionnant jusqu’à la fréquence de Nyquist, mais je n’ai jamais vraiment compris à quoi correspondait cette valeur ni en quoi elle est importante. Qu’est-ce que la densité spectrale de bruit ? »

Depuis de nombreuses années, la densité spectrale du bruit (NSD) figure en bonne place sur la fiche technique de nombreux convertisseurs analogique/numérique en tant que critère de performances. Vous avez peut-être remarqué qu’il s’agit d’un nombre négatif relativement élevé, exprimé en dBFS/Hz ou dBm/Hz. La plage indiquant le NSD sur la datasheet d’un convertisseur analogique/numérique est généralement comprise entre -140 dBFS/Hz et -165 dBFS/Hz. Toutefois, cette valeur est en fait définie par le rapport signal/bruit (SNR) du convertisseur et sa fréquence d’échantillonnage, comme nous le verrons un peu plus loin.

Le rapport signal/bruit d’un convertisseur analogique/numérique est défini comme le rapport logarithmique entre la puissance du signal et la puissance totale « hors signal » qui est visible à l’entrée du convertisseur. Le rapport signal/bruit par rapport à l’entrée à pleine échelle du convertisseur est appelé SNRFS (Signal to Noise Ratio Relative to Full Scale). La puissance « hors-signal » comprend plusieurs composantes, telles que le bruit de quantification, le bruit thermique et les petites erreurs qui émaillent la conception du convertisseur analogique/numérique. Dans la mesure où les convertisseurs analogique/numérique convertissent un signal continu en niveaux discrets au moyen d’un processus non linéaire, le bruit de quantification est créé de façon intrinsèque. Ce bruit représente la différence entre l’entrée analogique réelle généralement représentée par une onde sinusoïdale et la valeur du signal discret ou du bit de poids faible (LSB) le moins élevé.

La densité spectrale de bruit définit la puissance de bruit totale, par unité de bande passante, échantillonnée à l’entrée d’un convertisseur analogique/numérique. Pour un convertisseur fonctionnant à la fréquence de Nyquist, ce bruit est réparti dans l’ensemble de la bande de Nyquist, qui est égale à la moitié de la fréquence d’échantillonnage fs, c’est à dire fs/2.

 

Que désignent les unités de la densité spectrale de bruit ?

L’expression dBFS/Hz indique que le bruit est défini en unités de puissance (dB) par rapport à la pleine échelle du convertisseur analogique/numérique à l’intérieur d’une bande de fréquencede 1 Hz. Pourquoi seulement 1 Hz ? Parce que 1 Hz représente l’unité de référence de la bande passante de bruit établie en fonction de la largeur du canal d’observation, en fréquence, utilisée pour définir la densité spectrale de bruit.

Pour constituer une référence absolue, la densité spectrale de bruit peut également être définie par la puissance d’entrée du convertisseur analogique/numérique en termes absolus de dBm/Hz. Dans ce cas, la puissance d’entrée absolue à pleine échelle du convertisseur analogique/numérique doit être connue ou mesurée en fonction de l’impédance et de la tension d’entrée.

 

Comment la spécification NSD peut-elle m’aider à différencier les convertisseurs analogique/numérique utilisés dans mon système ?

Lorsque la fréquence d’échantillonnage d’un convertisseur analogique/numérique fonctionnant à la fréquence de Nyquist double, la densité de bruit diminue de 3 dB, dans la mesure où elle est répartie sur une bande Nyquist plus large. Pour un taux d’échantillonnage de 2×, la même quantité de puissance de bruit d’entrée serait à présent répartie sur une bande passante deux fois plus importante, ce qui augmente le rapport signal/bruit. Ce calcul peut être vérifié en doublant la valeur de la fréquence d’échantillonnage (fs) dans la formule suivante pour obtenir une réduction de -3 dB :

Tandis que la fréquence d’échantillonnage des convertisseurs analogique/numérique à haut débit continue d’augmenter pour atteindre plusieurs GHz, il est possible de tirer parti de l’augmentation du rapport signal/bruit liée au suréchantillonnage. Lorsque l’on compare les performances de deux convertisseurs analogique/numérique, une option envisageable est la possibilité d’échantillonner à une fréquence plus élevée tout en bénéficiant d’une densité de bruit plus faible.

 

En quoi la densité spectrale de bruit diffère-t-elle du plancher de bruit de ma transformée de Fourier rapide (FFT) ?

Une transformée de Fourier rapide (FFT) typique est obtenue en utilisant des dizaines ou des centaines de milliers, voire des millions de points d’échantillonnage. Ce qui signifie, pour la plupart des fréquences d’échantillonnage des convertisseurs analogique/numérique, que la taille des « bins » de fréquence couvre plusieurs centaines de Hz ou quelques kHz. La taille d’un « bin de FFT » est définie comme le spectre de Nyquist (fs/2) divisé par le nombre d’échantillons FFT avec des unités de fréquence. À titre d’exemple, la taille de chaque canal de fréquence d’une transformée FFT à 216 (65536) points avec un convertisseur analogique/numérique échantillonnant à 131 Méch/s 6) sera de :

 

Ainsi, le bruit d’un convertisseur analogique/numérique est étalé dans la zone de Nyquist dans des bandes de fréquence relativement importantes, qui sont 1 000 fois supérieures à la largeur de bande définie dans la densité spectrale de bruit, ce qui représente plus d’énergie de bruit dans une seule bande FFT.

En ce qui concerne l’exemple précédent, si une FFT avec un nombre de points beaucoup ^lus grand à 65,5 Méch était utilisée avec nos convertisseurs analogique/numérique à 131 Méch/s, la largeur de bande serait la suivante :

Dans ce cas, le plancher de bruit de la FFT serait égal à la densité spectrale de bruit du convertisseur analogique/numérique ; or, la puissance totale du bruit n’a toujours pas changé. Cette même puissance de bruit est uniquement répartie sur des largeurs de bande de fréquence plus étroites, comme le montre la figure 1.

Figure 1. Le bruit de quantification à la fréquence de Nyquist et le plancher de bruit FFT dans la zone de Nyquist d’un convertisseur analogique/numérique sont comparés en amplitude par rapport à son NSD. Le bruit FFT par bande sera déterminé par le nombre d’échantillons utilisés dans la FFT, tandis que la densité NSD est définie pour une largeur de bande unitaire de 1 Hz.

 

Comparez ce calcul à la définition d’une densité NSD dont l’unité de bande passante du bruit ou la taille de la fréquence du bin FFT est de 1 Hz. On comprend à présent pourquoi un plancher de bruit FFT typique est, dans la plupart des cas, supérieur à celui de la densité spectrale du bruit. Rares sont les ingénieurs qui utilisent une FFT suffisamment importante dans un système pour obtenir une largeur de bande de seulement 1 Hz. C’est pourquoi le bruit semble diminuer lorsque le nombre d’échantillons dans une FFT augmente.

Pourtant, le bruit total ne change pas, et est encore et toujours réparti dans le même spectre de Nyquist. Au lieu d’utiliser des incréments de bin de fréquence définis par la nombre d’échantillons, la définition de la densité NSD utilise des incréments de bande de fréquence plus petits (1 Hz) qui capturent moins d’énergie de bruit dans une seule bande.

 

Comment la valeur NSD est-elle mesurée et calculée ?

Pour un convertisseur analogique/numérique idéal :

Lorsque la valeur N désigne la résolution d’un convertisseur analogique/numérique, elle définit le niveau de bruit de quantification du convertisseur analogique/numérique. En réalité, un convertisseur analogique/numérique n’atteindra pas un tel niveau de performance, dans la mesure où les non-linéarités inhérentes à sa conception limiteront son rapport signal/bruit pratique à un niveau inférieur au niveau idéal. Par ailleurs, si l’on soustrait la puissance du signal de la puissance d’entrée à pleine échelle du convertisseur analogique/numérique, le reste correspond à la puissance de bruit totale. Si nous additionnons tous les bandes de bruit de 1 Hz de notre valeur NSD, nous obtenons une unique valeur de puissance de bruit.

Pour déterminer la valeur NSD d’un convertisseur analogique/numérique fonctionnant à la fréquence de Nyquist, la façon dont le bruit est réparti dans une zone de Nyquist doit être calculée et soustraite de la puissance du signal à pleine échelle. Pour commencer, il est nécessaire de connaître la fréquence d’échantillonnage. Prenons un convertisseur analogique/numérique idéal 12 bits à 200 Méch/s dont le signal idéal à pleine échelle est le suivant :

Son bruit est réparti dans une zone de Nyquist de 100 MHz (fs/2). Le bruit par bande de 1 Hz peut être calculé à l’aide de la fonction logarithmique suivante :

Pour ce convertisseur idéal à 12 bits, la valeur NSD serait la suivante :

Mais étant donné que nous vivons dans un monde « non idéal » et utilisons des convertisseurs analogique/numérique également « non idéaux », nous devons trouver le rapport signal/bruit à pleine échelle (SNRFS) effectif du convertisseur analogique/numérique. Il peut être mesuré directement ou extrait de la fiche technique du fabricant.

Le niveau de puissance du signal d’entrée à pleine échelle d’un convertisseur analogique/numérique est calculé en utilisant la tension de crête à pleine échelle connue, ou la tension efficace (rms) à pleine échelle, et la résistance d’entrée du convertisseur analogique/numérique. Nous pouvons calculer la puissance à pleine échelle en dBm si la tension d’entrée et l’impédance d’entrée sont connues :

Pour une puissance de signal à pleine échelle en dVm :

 

 

Quelle est la forme du spectre du bruit de quantification d’un convertisseur analogique/numérique ? Est-il toujours plat ?

Figure 2. Le bruit de quantification d’un convertisseur analogique/numérique fonctionnant à la fréquence de Nyquist sera plat dans sa bande de Nyquist.

 

Les convertisseurs analogique/numérique fonctionnent à la fréquence de Nyquist minimale requise pour capter la totalité des informations relatives à l’ensemble de la bande passante d’entrée. La plupart de ces convertisseurs qui emploient un pipeline, un registre à approximations successives (SAR) ou une architecture de type flash présenteront un bruit de quantification essentiellement plat du continu à la fréquence Nyquist. À ce titre, ce sont des récepteurs de bruit à opportunités égales qui recevront la puissance finie du bruit de quantification de façon équitable dans l’ensemble du spectre fs/2, comme le montre la figure 2.

Figure 3. L’architecture d’un convertisseur analogique/numérique sigma-delta (SD) en temps continu repose sur un filtre à boucle et un filtre de décimation qui façonne le bruit de sortie.

 

Pour les applications où une bande passante Nyquist complète n’est pas nécessaire, il est possible de mettre en œuvre des architectures alternatives. Les convertisseurs analogique/numérique sigma-delta (SD) passe-bande en temps continu (Continuous Time Sigma-Delta — CT SD ou CTSD) utilisent une fonction de mise en forme du bruit qui, globalement, repousse ou filtre le bruit de quantification « dans la bande » vers l’extérieur de la bande d’intérêt (figure 3). Conclusion, la fonction de transfert de bruit présente une forme non plate qui se situe plus bas dans une bande d’intérêt étroite, moins large que la bande passante de Nyquist. Dans cette bande, le convertisseur analogique/numérique CTSD fonctionne à son rendement maximum où le rapport signal/bruit pleine échelle SNRFS est le plus élevé, comme le montre la figure 4.

Figure 4. Le bruit d’une architecture de convertisseur analogique/numérique CTSD ne sera pas plat. Il sera façonné en fonction de la réponse du filtre de boucle à l’intérieur du modulateur pour repousser le bruit à l’extérieur de la bande d’intérêt.

 

L’un des principaux avantages d’une architecture CTSD étant lié à sa capacité à détecter les signaux dans une bande de fréquences étroite, une densité spectrale de bruit à large bande ne présente pas un intérêt particulier. A contrario, la plage dynamique à l’intérieur de la bande passante étroite apparaîtra comme la métrique de rendement d’un convertisseur analogique/numérique CT SD. La fonction de transfert de la mise en forme du bruit sera déterminée en fonction de l’ordre des filtres à boucle utilisés dans la conception du modulateur.

 

Comment le gain de traitement d’un convertisseur analogique/numérique affecte-t-il la densité de bruit et le rapport signal/bruit ?

Il existe plusieurs applications où le signal primaire est uniquement situé dans une bande passante étroite, nettement inférieure à la totalité de la bande passante de Nyquist. Dans ce cas, le filtrage numérique peut être utilisé pour filtrer le bruit à l’extérieur d’une bande passante plus étroite. Ce traitement peut être effectué à l’aide d’un étage de conversion numérique abaisseur de fréquence afin de décimer, adapter et filtrer les données avant qu’elles soient générées par un convertisseur analogique/numérique fonctionnant à la fréquence de Nyquist. Le calcul de notre rapport SNR doit alors inclure un facteur de correction pour ce filtrage, qui tiendra compte du gain de traitement du bruit filtré, comme le montre la figure 5 :

Figure 5. En filtrant numériquement la sortie pour observer uniquement un spectre de bande passante plus étroit, il est possible d’obtenir une amélioration du gain de traitement du SNR, étant donné que le bruit hors bande est à présent filtré.

 

Prenons l’exemple d’un convertisseur analogique/numérique fonctionnant à la fréquence de Nyquist et dont la fréquence d’échantillonnage est de 100 Méch/s, sachant qu’il n’est pas indispensable que l’application de notre système observe la totalité de la bande passante Nyquist du convertisseur (50 MHz). En revanche, nous souhaitons seulement observer une fréquence plus basse, 1/8 de la fréquence de Nyquist, sur un de 6,25 MHz, entre 20 MHz et 26,25 MHz. Si nous mettons en œuvre un algorithme de filtrage numérique et accordons le filtre sur cette bande passante, il est possible de calculer un gain de traitement de 9 dB lié au suréchantillonnage :

A chaque fois que nous réduisons la bande passante d’un facteur 2, le gain de traitement lié au bruit filtré augmente de 3 dB. Ainsi, comme le montre l’exemple ci-dessus, avec une réduction de 1/23 de la bande passante, un gain de traitement de 3 dB × 3 dB.

 

Quels autres composants complémentaires peuvent influencer les performances NSD d’un convertisseur analogique/numérique dans mon système ?

De nombreux facteurs externes peuvent dégrader les performances d’un convertisseur analogique/numérique à haut débit, avec pour conséquences un rapport signal/bruit plus bas et une densité de bruit efficace plus élevée. Toute composante complémentaire ayant un impact sur le rapport signal/bruit à pleine échelle (SNRFS) ou sur la fréquence d’échantillonnage du convertisseur peut également influer sur sa densité spectrale de bruit au sein d’un système. Concentrons-nous à présent sur la gigue d’horloge, l’une des principales causes de dégradation du rapport signal/bruit d’un convertisseur analogique/numérique aux fréquences d’échantillonnage élevées.

Les convertisseurs analogique/numérique haut débit et haute résolution sont sensibles à la qualité de l’entrée de l’horloge. Pour obtenir un rapport signal/bruit supérieur dans un convertisseur analogique/numérique à haut débit, la gigue d’horloge efficace (rms) doit être étudiée avec soin, en fonction des exigences relatives à la fréquence d’entrée de l’application. La gigue d’horloge efficace peut limiter le rapport signal/bruit des convertisseurs analogique/numérique les plus performants, exacerbé aux fréquences d’entrée plus élevées. Même si cette approche ne modifie pas le NSD potentiel d’un convertisseur analogique/numérique, elle limitera son rapport signal/bruit pratique dans un système doté d’une horloge à forte gigue.

Dans la mesure où la fréquence d’entrée analogique d’un convertisseur analogique/numérique est triplée en utilisant la même gigue d’horloge efficace, les meilleures valeurs SNR sont réduites de 10 dB. La dégradation du rapport SNR à une fréquence d’entrée donnée (fA) due uniquement à la gigue d’ouverture (tJ) peut être calculée avec la formule suivante :

Figure 6. Le rapport signal/bruit limité en gigue d’horloge peut être tracé par rapport à la fréquence d’entrée analogique pour différents profils de gigue d’horloge.

 

La figure 6 représente les performances limitées du SNR à diverses fréquences d’entrée pour différents profils de gigue d’horloge efficace (rms) en femtosecondes (fs). À mesure que la fréquence d’entrée augmente, une gigue d’horloge efficace inférieure sera nécessaire pour atteindre la même limite de SNR, comme on le voit aux fréquences d’entrée inférieures. Par exemple, une gigue d’horloge efficace de 200 fs limite le rapport SNR d’un convertisseur analogique/numérique à seulement 70 dB à 250 MHz. Toutefois, un signal d’entrée de 1 GHz nécessiterait une gigue d’horloge efficace de 50 femtosecondes ou mieux pour obtenir les mêmes performances SNR de 70 dB.

La densité spectrale de bruit d’un convertisseur analogique/numérique peut être facilement définie comme la puissance du signal à pleine échelle d’un convertisseur analogique/numérique, moins la puissance de bruit, répartie en incréments de largeur de bande de 1 Hz. Une modification de la profondeur d’échantillonnage FFT n’altère pas la densité spectrale de bruit d’un convertisseur analogique/numérique : elle ne fait que répartir le bruit sur différentes largeurs de bande de fréquence.

La forme du bruit peut varier en fonction de l’architecture du convertisseur analogique/numérique et de l’utilisation d’un filtrage numérique pour filtrer le bruit hors bande d’intérêt. Le gain de traitement peut améliorer la plage dynamique à l’intérieur de la bande passante d’intérêt pour les convertisseurs analogique/numérique fonctionnant à la fréquence de Nyquist et dont la largeur de la bande passante est nettement supérieure aux exigences du système.

 

À propos de l’auteur
Ian Beavers est ingénieur d’applications au sein de l’équipe en charge des convertisseurs analogique/numérique à haut débit chez Analog Devices, Greensboro (Caroline du Nord). Il travaille pour l’entreprise depuis 1999 et affiche plus de 18 ans d’expérience dans l’industrie des semiconducteurs. Titulaire d’une licence en génie électrique de l’Université d’état de Caroline du Nord et d’un MBA de l’Université de Caroline du Nord à Greensboro, Ian Beavers est membre de la communauté de support EngineerZone® d’ADI spécialisé dans les convertisseurs analogique/numérique à haut débit. N'hésitez pas à contacter Ian et la communauté de support technique en ligne Analog Devices EngineerZone : [email protected].

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